Леонтьев Алексей Федорович

Выдающийся ученый-математик, член-корреспондент АН СССР Леонтьев А.Ф. родился 27 марта 1917 года в Горьковской области. Окончил с отличием физико-математический факультет, а затем аспирантуру Горьковского университета. В 1942 году защитил диссертацию на степень кандидата физико-математических  наук. После защиты диссертации стал работать в г. Козьмодемьянске в Марийском пединституте сначала доцентом, а затем  заведующим кафедрой математического анализа. В трудные военные годы А.Ф. Леонтьеву удалось совмещать большую преподавательскую деятельность с научными исследованиями. Полученные им ряд важных научных результатов привлекли внимание специалистов в области теории функции, что послужило основанием для принятия его в докторантуру Математического факультета им В.А. Стеклова АН СССр. По окончании докторантуры А.Ф.Леонтьев  в 1948 году защитил диссертацию на степень доктора физико-математических наук. Официальные оппоненты  М.В.Кельдыш, М.А. Лаврентьев признали диссертацию выдающейся.

После защиты диссертации А.Ф.Леонтьев заведовал кафедрой теории функций Горьковского университета, а с 1954 года работал заведующим кафедрой Московского энергетического института, совмещая эту работу с должностью старшего научного сотрудника Математического института им. В.А.Стеклова.

В 1970 г. А.Ф.Леонтьев был избран членом-корреспондентом АН СССР. С 1971 года до конца жизни (14 апреля 1987г.) он работал в Уфе заведующим сектором теории функций Башкирского университета, возглавив ее со дня образования.

А.Ф.Леонтьев автор более 120 научных работ, в том числе 4-х монографий. Им создан ряд новых важных направлений в теории функций. Одним из таких направлений является исследование свойств полиномов из экспонент. Результаты многолетней работы по этому направлению  подытожены им в его монографии “Последовательности полиномов из экспонент”, М., Наука, 1980.

Рассматривается система экспонент неполная во всей плоскости, образуются линейные  комбинации экспонент из этой системы. Изучаются свойства последовательностей таких линейных комбинаций, которые равномерно сходятся в области, где система экспонент не полна. Примером такого свойства является, например, такой результат: если показатели вещественны и имеют конечную плотность, то из сходимости последовательности в области, содержащей в себе вертикальный отрезок определенной длины, вытекает сходимость в некоторой вертикальной полосе. Если же показатели положительны, то сходимость будет в полуплоскости.

Класс предельных функций вышеуказанных последовательностей шире класса, представимых рядами экспонент. Предельные функции удовлетворяют уравнению свертки, с характеристической функцией, нулями которой являются показатели экспонент. В частном случае  уравнение свертки  превращается в разностное уравнение  с постоянными коэффициентами. А.Ф. Леонтьев показал, что соответствующий аналитическому решению ряд из элементарных решений разностного уравнения может всюду  сходиться к решению. Когда решение уравнения свертки регулярно в бесконечной области с определенными свойствами, указан способ суммирования ряда элементарных решений к самому решению.

Последовательности полиномов из экспонент нашли ряд ванных применений. Используя их, А.Ф.Леонтьев доказал ряд теорем о полноте систем экспонент, получил ряд  критериев  существования целых функций, принимающих  заданные значения в заданных точках. Последовательности полиномов из экспонент были применены к выяснению структуры замкнутых  подпространств аналитических функций, инвариантных относительно операции дифференцирования.

Другим важным направлением исследований Леонтьева является представление произвольных аналитических функций рядами экспонент. Результаты, полученные по этому направлению до 1975 года, подытожены им в монографии “Ряды экспонент”, М., наука, 1976. Начало этим исследованиям было положено в 1965 году, когда Леонтьев обнаружил, что если показатели экспонент разложить на трех лучах, то произвольные аналитические в треугольнике функций можно разложить в ряды по этим экспонентам.      

Область сходимости ряда экспонент - выпуклая область, поэтому рассматриваются функции, аналитические в выпуклых областях. Берется ограниченная выпуклая область и целая функция экспоненциального  типа, сопряженной диаграммой  которой служит замыкание области. Рассматривается система экспонент, показателями которых служат нули функции. Функции аналитической в замкнутой области естественным образом сопоставляется ряд экспонент, который, вообще говоря, не сходится, хотя коэффициентами ряда исходная функция определяется полностью.

А.Ф. Леонтьевым  установлены необходимые и достаточные условия на функцию экспоненциального типа, при выполнении которых ряд сходится к своей функции. Оказалось, что функция, удовлетворяющая этим условиям, всегда существует. Таким образом, какая бы ни была выпуклая, ограниченная область, имеется система экспонент  такая, что любую аналитическую в замкнутой области функцию можно представить в открытой области рядом по этой системе экспонент. В дальнейшем исследования продолжались в случае бесконечных областей. Были исследованы вопросы о разложениях в ряды экспонент, сходящихся в той или иной топологии, естественным образом связанной с ростом модуля исходной функции при приближении к границе. Значительное число результатов получено Леонтьевым по поводу представления целых функций рядами экспонент. В частности, показано, что любую целую функцию можно разложить в ряд экспонент, причем показатели можно выбрать лежащими на трех лучах. Далее было показано, что любую целую функцию конечного порядка и данного типа можно разложить в такой ряд экспонент, что сумма ряда из модулей членов будет иметь тот же порядок и тот же тип.

Получены результаты о разложении функций в такие ряды экспонент, при которых сумма ряда из модулей учитывает рост функций вдоль  лучей. Они интересны уже тем, что степенной ряд этим свойством не обладает, ибо сумма ряда из модулей  членов степенного ряда имеет одинаковый рост вдоль всех лучей. Используя результаты о возможности таких разложений, Леонтьеву удалось выделить класс целых  функций, представленных рядами экспонент, обладающий свойством: индикатриса роста функций из этого класса может быть вычислена через модули коэффициента ряда.

В процессе исследований Леонтьев столкнулся с квазианалитическим продолжением аналитических функций. Из замечательных результатов в этом направлении отметим лишь один: если функция представляется рядом экспонент с комплексными показателями  такими, что ряд из обратных величин модулей показателей сходится, то функция не продолжается квазианалитически через границу области регулярности (область регулярности - выпуклая).

Третье важное направление исследований Леонтьева охватывает вопросы представления аналитических функций посредством обобщенных экспонент. Оказалось, что многие результаты, относящиеся к последовательности полиномов из экспонент и разложению функций в ряды экспонент, обобщаются в той или иной степени на случай, когда вместо экспоненты берутся те или иные целые функции. Относящиеся к этому важному направлению результаты, полученные до 1980 года, подытожены в монографии “Обобщения рядов экспонент”, М., 1981.

Леонтьев, открыв новые направления в теории функции, получив в этих направлениях выдающиеся результаты, создал мощные методы исследования. Теперь эти исследования продолжают многие математики, в том числе его ученики. А их у Леонтьева, представителей многих национальностей как нашей страны, так и других стран, было много: 35 его учеников защитили кандидатские диссертации, 6 из них стали докторами физико-математических наук. Алексей Федорович уделял очень большое внимание подготовке квалифицированных кадров, постоянно  стремился привлечь к математическим исследованиям талантливую молодежь. Это ему удавалось без видимых усилий, ибо Леонтьев привлекал студенческую молодежь не только как выдающийся математик, Но и как человек редких душевных качеств, как исключительно  деликатный, доброжелательный преподаватель, как прекрасный педагог. В его лекциях всегда сочетались высокий научный уровень и ясность, доступность, законченность изложения. Об этом свидетельствует и учебник для студентов “Целые функции. Ряды экспонент”, М.,1983, написанный на базе прочитанных им нескольких спецкурсов.

Леонтьев пользовался высоким авторитетом среди математиков. Об этом говорит и то, что он много лет входил в редколлегию международного советско-венгерского журнала “Analysis mathematica”, был заместителем председателя экспертной комиссии по математике при ВАКе. Признанием высокого авторитета Леонтьева и созданной им математической школы является организация в Уфе в 1988 году Математического института (одного из пяти аналогичных институтов России), возглавляемого его учеником, членом-корреспондентом РАН, академиком АН РБ  Напалковым В.В.

Родина высоко оценила заслуги Леонтьева в развитии науки и подготовке научных кадров, наградив его орденами Трудового Красного Знамени и Октябрьской Революции, ему было присвоено высокое звание “Заслуженный деятель науки Башкирской АССР”.